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已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R) (1)若在f(x)的图象上横坐...

已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)
(1)若在f(x)的图象上横坐标为manfen5.com 满分网的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;
(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a取值范围;
(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试出实数m的值;若不存在,说明理由.
(1)先求出函数的导数,再由f′()=0求解a. (2)将“f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点”转化为“方程f′(x)=0在区间(-2,3)内有两个不同的实根”,用△>0求解. (3)在(1)的条件下,a=1,“要使函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2(x2-4x+1m)=0恰有三个不同的实根”.因为x=0是一个根,所以方程x2-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根,再用判别式求解. 【解析】 (1)依题意,f′()=0 ∵f′(x)=-3x2+2ax -3()2+2•a•=0, ∴a=1(3分) (2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点, 则方程f′(x)=0在区间(-2,3)内有两个不同的实根, ∴△>0,f′(-2)<0,f′(3)<0,-2<<3, 解得-3<a<且a≠0 但a=0时,f(x)=-x3+1无极值点, ∴a的取值范围为(-3,0)∪(0,)(8分) (3)在(1)的条件下,a=1, 要使函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点, 等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1, 即方程x2(x2-4x+1-m)=0恰有三个不同的实根. ∵x=0是一个根, ∴应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根, 由△=16-4(1-m)>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1(12分) ∴存在m∈(-3,1)∪(1,+∞), 使用函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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