Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直，BB₁=BC，∠B₁BC=60°，AB=AC，M是B₁C₁的中点，
（1）求证：AB₁∥平面A₁CM；
（2）若AB₁与平面BB₁C₁C所成的角为45，求二面角B-AC-B₁的余弦值．

Answer

（1）先连接AC1，交A1C于N，连接MN，根据中位线定理得到MN∥AB1，再由线面平行的判定定理可证AB1∥平面A1CM，得证．
（2）先作BC的中点O，连接AO、B1O，根据面面垂直的性质定理可知AO⊥面BB1C1C，进而知∠AB1O是AB1与平面BB1C1C所成的角，再由BB1=BC，∠B1BC=60°可得△B1BC是正三角形且B1O⊥BC，然后以O为原点，分别以OB、OB1、OA为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，假设OA=a，则可得A、B1C、O的坐标，进而可表示出 、、的坐标，因为OB1⊥平面ABC，得到 是平面ABC的一个法向量，然后表示出平面AB1C的法向量，可得到＜，＞=，即二面角B-AC-B1的大小是 ．
证明：（1）如图，连接AC1，交A1C于N，连接MN．
∵M是中点，N是AC1的中点，
∴MN∥AB1．
∵MN⊂平面A1CM，
∴AB1∥平面A1CM．
（II）作BC的中点O，连接AO、B1O．
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵侧面BB1C1C与底面ABC垂直，
∴AO⊥面BB1C1C，
∴∠AB1O是AB1与平面BB1C1C所成的角，即∠AB1O=45°，从而AO=B1O．
又∵BB1=BC，∠B1BC=60°，
∴△B1BC是正三角形，所以B1O⊥BC．
以O为原点，分别以OB、OB1、OA为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
设OA=a，则A（0，0，a），B1（0，a，0），C（ ，0，0），O（0，0，0），
∴，，．
∵OB1⊥平面ABC，故 是平面ABC的一个法向量，设为，
则=，
设平面AB1C的法向量为=（x2，y2，z2），
由 =0且 =0得
令y2=a，得=（ a，a，a）．
∴cos＜，＞=，
∴＜，＞=．
即二面角B-AC-B1的大小是 ．