Question

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，点P是其上的动点，
（1）当△PF₁F₂内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer

（Ⅰ）由椭圆的顶点坐标得出a的值，再根据离心率公式e=，由e和a的值求出c的值，由a与c的值利用椭圆的简单性质求出b的值，进而求得出椭圆C的方程；
（Ⅱ）（1）根据椭圆的定义，由c的值求出|F1F2|的值，设F1F2边上的高为h，利用三角形的面积公式表示出，设△PF1F2内切圆的半径为R，根据△PF1F2的周长为2a+2c=6，利用半径乘周长的一半表示出，由在椭圆上顶点求出h的最大值，进而得到的最大值，得到R的最大值，求出内切圆圆心的坐标即可；
（2）把直线l方程代入椭圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，设出直线l与椭圆C的两交点坐标，根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由A和M的坐标表示出直线AM的方程，求出直线AM与直线x=4的交点，同时求出直线BN与直线x=4的交点，把两交点的纵坐标相减，通分后，把表示出的两根之和与两根之积代入得到其值为0，从而得到两交点的纵坐标相等，由横坐标也相等，故直线AM与直线BN的交点在直线x=4上，得证．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的顶点坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=，
∴a=2，=，即c=1，
所以b==，
则椭圆C的方程为：+=1；（3分）
（Ⅱ）（1）求得|F1F2|=2c=2，设F1F2边上的高为h，所以=×2×h=h，
设△PF1F2内切圆的半径为R，因为△PF1F2的周长为定值6．所以R×6=3R=，
当P在椭圆上顶点时，h最大为，
故的最大值为，
于是R随之最大值为，
此时内切圆圆心的坐标为（0，±）；（7分）
（2）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C方程+=1，
并整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，
设直线l与椭圆C交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，又A（-2，0），
∴直线AM的方程为：y=（x+2），它与直线x=4交点坐标为P（4，），
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，）（11分）
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等：
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴-=
===0，
此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．（13分）