Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B₁B、DA的中点．
（1）求证：BF∥平面AD₁E；
（2）求证：D₁E⊥平面AEC．

Answer

（1）取DD1的中点G，连接GB，GF．根据已知中E、F分别是棱B1B、DA的中点，我们易证明四边形BED1G为平行四边形，则BG∥D1E，根据线面平行的判定定理可得BG∥平面AD1E，进而根据面面平行的判定定理得到平面BGF∥平面AD1E，最后由面面平行的性质得到BF∥平面AD1E；
（2）由已知中AA1=2，底面是边长为1的正方形，根据勾股定理，我们可以求出D1E⊥AE，D1E⊥CE，结合线面垂直的判定定理即可得到D1E⊥平面AEC．
证明：（1）取DD1的中点G，连接GB，GF．∵E、F分别是棱BB1、DA的中点，
∴GF∥AD1，BE∥D1G且BE=D1G，∴四边形BED1G为平行四边形，∴BG∥D1E．
又D1E、D1A⊂平面AD1E，BG、GF⊄平面AD1E，∴BG∥平面AD1E，GF∥平面AD1E．
∵BG、GF⊂平面BGF，且BG∩GF=G，∴平面BGF∥平面AD1E．
∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AD1E．
（2）∵AA1=2，A1D1=1，∴．
同理可得：．∵，∴D1E⊥AE．
同理可证得D1E⊥CE．
又AE∩CE=E，AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，∴D1E⊥平面AEC．