Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，，（n=3，4，…）；数列{b_n}是首项为b₁=1，公比为-2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=na_nb_n（n=1，2，3，…），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由得，（n≥3）．由此能导出数列{an}的通项公式．由数列{bn}是首相为b1=1，公比为-2的等比数列，能求出{bn}的通项公式．
（Ⅱ），记Tn=1•（-2）+2•（-2）+3•（-2）2++n•（-2）n-1，由错位相减法能导出，由此能求出数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）由，
得，（n≥3）（2分）
又∵a2-a1=1≠0，
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为的等比数列，
∴．
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）
=
=，（4分）
经检验它对n=1，2也成立，
∴数列{an}的通项公式为（5分）
∵数列{bn}是首相为b1=1，
公比为-2的等比数列．
∴bn=1×（-2）n-1=（-2）n-1．（7分）

（Ⅱ），
Sn=c1+c2+c3+…+cn=-
=（10分），
记Tn=1•（-2）+2•（-2）+3•（-2）2+…+n•（-2）n-1，①
则2Tn=1•（-2）1+2•（-2）2+…+（n-1）•（-2）n-1+n•（-2）n②，
由①-②得：-Tn=（-2）+（-2）+（-2）2+…+（-2）n-1-n•（-2）n
=，
∴（12分）
∴（14分）