Question

直线l与抛物线y²=4x交于两点A、B，O为原点，且•=-4
（1）求证：直线l恒过一定点；
（2）若4≤|AB|≤4，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）设抛物线的焦点为F，∠AFB=θ，试问θ角能否等于120°？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）若直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+b，l与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），根据•=-4求得y1y2，把直线与抛物线方程方程联立消去x根据韦达定理求得y1y2的表达式进而可求得b和k的关系，整理直线方程可知直线l过定点（2，0）；若直线l⊥x轴，易得x1=x2=2，则l也过定点（2，0）．
（2）由（1）可求得|AB|2的表达式，从而根据4≤|AB|≤4求得k的范围．
（3）假定θ=p，则可得cosθ，根据抛物线定义得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1．从而表示出|AF|2+|BF|2-|AB|2和|AF|•|BF|代入
=-整理得x1+x2+1=0与x1＞0且x2＞0相矛盾，经检验，当AB⊥x轴时，θ=2arctan2＞p．综合可知，θ≠p．
【解析】
（1）1°若直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+b，
l与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
由•=-4得x1x2+y1y2=-4，即+y1y2=-4，
则y1y2=-8．
又由得ky2-4y+4b=0（k≠0）．
则y1y2==-8，即b=-2k，
则直线l的方程为y=k（x-2），则直线l过定点（2，0）．
2°若直线l⊥x轴，易得x1=x2=2，则l也过定点（2，0）．
综上，直线l恒过定点（2，0）．

（2）由（I）得|AB|2=（1+）（y2-y1）2=（+32）
从而6≤（+2）≤30．
解得k∈[-1，-]∪[，1]．

（3）假定θ=p，则有cosθ=-，
如图，即=-（*）
由（1）得y1y2=-8，x1x2==4．
由定义得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1．
从而有|AF|2+|BF|2-|AB|2=（x1+1）2+（x2+1）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2=-2（x1+x2）-6，
|AF|•|BF|=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5
将代入（*）得=-，即x1+x2+1=0．
这与x1＞0且x2＞0相矛盾！
经检验，当AB⊥x轴时，θ=2arctan2＞p．
综上，θ≠p．