已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．（1）若圆M与y轴...

已知点M在椭圆

上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

（1）由题意，应该先设出点M的坐标及圆的半径，利用题中的条件建立方程求解即可；（2）由题意利用所给的条件信息及（1）中的圆的半径与a，b的关系和离心率进而求解出椭圆的方程．【解析】（1）设M（x，y），圆M的半径为r．因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，所以MF⊥x轴，所以x=c，r=|y|① 因为点M在椭圆上，所以将上式代入上式得，因为a2-c2=b2所以即：② 又因为圆M与y轴相切，所以M到y轴的距离等于半径r，即：r=|x|③ 由①，②，③得即：b2=ac从而得c2+ac-a2=0 两边同除以a2，得：（，，e2+e-1=0 解得：因为e∈（0，1）故：．（2）因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2， M到圆y轴的距离又由（1）知：，d=c 所以，，又因为a2-b2=c2 从而有a2-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）b2=2a=6 所求椭圆方程是：

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考点分析：

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如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．