Question

直线y=x+a与圆x²+y²=4交于点A，B，若（O为坐标原点），则实数a的值为     ．

Answer

方法1．设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入圆的方程得2x2+2ax+a2-4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，
以及两个向量的数量积的坐标运算公式解出实数a的值．
方法2 利用两个向量的数量积的定义求出∠AOB=120°，问题等价于圆心到直线的距离等于半径的一半，列方程求a的值．
【解析】
方法1．设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程代入圆的方程得2x2+2ax+a2-4=0，
则x1+x2=-a，x1x2=，
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+a）（x2+a）=2x1x2+a（x1+x2）+a2=a2-4-a2+a2=a2-4=-2，
即a2=2，即．
方法2.=-2⇔2•2cos∠AOB=-2，即∠AOB=120°，
问题等价于圆心到直线的距离等于半径的一半，即，故．
故答案为：