Question

将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并涂好了过顶点A的3个面得颜色，那么其余3个面的涂色方案共有    ．

Answer

当5种颜色全都使用时，即只有一组对面颜色相同，设1和4同色，5和6有2种涂法，当只使用4种颜色时即有两组对面颜色相同，设1和4同色，2和5同色，6有2种涂法，当只使用3种颜色时 只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1种
【解析】
由题意知本题是一个分类计数问题，
设6个面为1对4、2对5、3对6，五种颜色为a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c
当5种颜色全都使用时
即只有一组对面颜色相同，设1和4同色，5和6有2种涂法（de或ed）
又因为三个对面各不相同
∴一共有3×2=6种
当只使用4种颜色时
即有两组对面颜色相同，设1和4同色，2和5同色，6有2种涂法（d或e）
同（I）理
共有3×2=6种
当只使用3种颜色时 
只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1种
综上共有13种方法
故答案为：13．