Question

如果过曲线C₁：y=x²-1上一点P的切线l与曲线相交所得弦为AB．
（1）证明：弦AB（2）的中点在一条定直线l上；
（2）与l平行的直线与曲线C₁交于E，F两点，过点P且平行于（1）中的直线l的直线与曲线C₁的另一交点为Q，且，试判断△EQF的形状，并说明理由．

Answer

（1）设点P（t，t2-1），因为对曲线C1而言，所以l的斜率为y'|x=t=2t，直线l的方程为y=2tx-（t2+1）．由，得4（1+t2）x2-4t（1+t2）x+（1-t2）（3+t2）=0．再由根的判别式和韦达定理能够证明弦AB的中点在一条定直线l：y=-1上．
（2）由P，Q两点关于y轴对称，知Q（-t，t2-1）．设EF的方程为y=2tx+b，代入y=x2-1得x2-2tx-b-1=0．设E（xE，xE2-1），F（xF，xF2-1），则xE+xF=2t，因为，同理kQF=xE-t．所以kQF+kQE=（xE+xF）-2t=0．由此能够判断△EQF为直角三角形．
【解析】
（1）设点P（t，t2-1）
因为对曲线C1而言，所以l的斜率为y'|x=t=2t，直线l的方程为y=2tx-（t2+1）．
由，得4（1+t2）x2-4t（1+t2）x+（1-t2）（3+t2）=0．
由△=-16（1+t2）（t2-3）＞0得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为（x，y），则x1+x2=t，y1+y2=2t（x1+x2）-2（t2+1）=-2，
从而y=-1．
所以弦AB的中点在一条定直线l：y=-1上．…（7分）
（2）由（1）知，P，Q两点关于y轴对称，所以Q（-t，t2-1）．
设EF的方程为y=2tx+b，代入y=x2-1得x2-2tx-b-1=0．设E（xE，xE2-1），F（xF，xF2-1），则xE+xF=2t，因为，
同理kQF=xE-t．所以kQF+kQE=（xE+xF）-2t=0．
若点F在直线PQ下方，则直线PQ平分∠EQF．因为，所以，即△EQF为直角三角形；若点F在直线PQ上方，设M为线段PQ左边延长线上一点，则，结论仍然成立．…（15分）