Question

有下列命题：
①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；
④命题P：“∃x∈R，x²-x-1＞0”的否定¬P：“∀x∈R，x²-x-1≤0”．
则上述命题中为真命题的是（ ）
A．①②③④
B．①③④
C．②④
D．②③④

Answer

①由集合M={x|0＜x≤3}⊋N={x|0＜x≤2}，则a∈N⇒a∈M，但a∈M时，如a∉N不一定成立，可判断①
②由||，可判断②
③若a=1，则直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直；但直线x-ay=0与x+ay=0垂直，则a2-1=0，可判断故③
④个根据特称命题命题P：“∃x∈R，x2-x-1＞0”的否定是全称命题可判断④
【解析】
①由于集合M={x|0＜x≤3}⊋N={x|0＜x≤2}，则a∈N⇒a∈M，但a∈M时，如a=3∉N，从而可得“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故①错误
②由于||，
若，则不一定成立；若，则一定成立，即是的必要不充分条件，故②正确
③若a=1，则直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直；若直线x-ay=0与x+ay=0垂直，则a2-1=0即a=±1，故③错误
④命题P：“∃x∈R，x2-x-1＞0”的否定¬P：“∀x∈R，x2-x-1≤0”．故④正确
故选C