Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₅=17，b₂b₄=16．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}（n∈N^*）满足成等比数列，若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，求m的最大值．

Answer

（I）根据所给的两个等式，根据等比数列的性质写出第一项和第五项之间的两个关系，求出这两项，求出首项和公比，写出数列的通项公式．
（II）根据三个数字成等比数列，利用等比中项写出关系式，根据上一问做出的数列的通项，写出要求数列的通项．根据a1+a2+a3+…+am≤a40，写出关于m的不等式，做出结果．
【解析】
（Ⅰ）由 知b1，b5是方程x2-17x+16=0的两根，
注意到bn+1＞bn得 b1=1，b5=16．
∴b1=1，q=2
∴bn=b1qn-1=2n-1
（Ⅱ） 由成等比数列，得，
∴an=n+2．
∵an+1-an=[（n+1）+2]-[n+2]=1
∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
由a1+a2+a3+…+am≤a40，
得m2+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．