Question

已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．若n+3m²=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值．

Answer

通过m，n的关系消去n，求出函数f（x）的导数，对m进行讨论探讨函数在x＞0时的单调性从而求出其最小值，建立关于m的方程，可求得m的值．
【解析】
（1）当n+3m2=0时，f（x）=x2+mx-3m2lnx．
则．
令f'（x）=0，得（舍），x=m．
①当m＞1时，

∴当x=m时，fmin（x）=2m2-3m2lnm．
令2m2-3m2lnm=0，得．
②当0＜m≤1时，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，fmin（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．
综上所述，所求m为．