Question

如图l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．
（1）求证：AE⊥BD；’
（2）求证：平面PEF⊥平面AECD．

Answer

（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM，根据等边三角形可知BM⊥AE，DM⊥AE，BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM，满足线面垂直的判定定理则AE⊥平面BDM，而BD⊂平面BDM，得到AE⊥BD．
（2）连接CM交EF于点N，连接PN，先证四边形MECF是平行四边形，然后根据N是线段CM的中点得到P是线段BC的中点，从而PN∥BM，根据BM⊥平面AECD即可得到PN⊥平面AECD．
证明：（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM．
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点
∴△ABE与△ADE都是等边三角形
∴BM⊥AE，DM⊥AE
∵BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM
∴AE⊥平面BDM∵BD⊂平面BDM
∴AE⊥BD．
（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．
∵P是BC的中点，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．
又∵PN⊂平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．．