Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有成立，求m的最大值；

Answer

（1）根据an=Sn-Sn-1，求得数列的递推式，进而整理得推断出数列是公差为1的等差数列．根据S1=2a1-22，求得a1，进而根据等差数列的通项公式求得，则an可求得．
（2）把（1）中求得an代入中求得bn，则B3n-Bn可求令，进而表示出f（n+1）两式相减求得f（n+1）＞f（n），判断出数列{f（n）}为递增数列．进而求得数列的最小值，进而根据，，求得m的范围．利用m为整数求得m的最大值．
【解析】
（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是，所以数列是公差为1的等差数列．
又S1=2a1-22，所以a1=4．
所以，
故an=（n+1）•2n．

（2）因为=，则．
令，则．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时，f（n）的最小值为．
据题意，，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．