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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边...

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2.
(Ⅰ)求证:C1D∥平面ABB1A1
(Ⅱ)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D-A1C1-A的余弦值.

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(Ⅰ)C1D所在平面CDD1C1平行平面ABB1A1,即可证明C1D∥平面ABB1A1; (Ⅱ)以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,求出平面A1C1D的一个法向量为=(1,1,0),利用求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值; (Ⅲ)平面A1C1A的法向量为=(a,b,c),利用cosα=,求二面角D-A1C1-A的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)证明:四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1, 又CC1⊄面ABB1A1,所以CC1∥平面ABB1A1,(2分)ABCD是正方形,所以CD∥AB, 又CD⊄面ABB1A1,所以CD∥平面ABB1A1,(3分) 所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1, 所以C1D∥平面ABB1A1.(4分) (Ⅱ)【解析】 ABCD是正方形,AD⊥CD, 因为A1D⊥平面ABCD, 所以A1D⊥AD,A1D⊥CD, 如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,.(5分) 在△ADA1中,由已知可得, 所以,,,(6分) 因为A1D⊥平面ABCD, 所以A1D⊥平面A1B1C1D1,A1D⊥B1D1, 又B1D1⊥A1C1, 所以B1D1⊥平面A1C1D,(7分) 所以平面A1C1D的一个法向量为=(1,1,0),(8分) 设与n所成的角为β, 则(9分) 所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(10分) (Ⅲ)【解析】 设平面A1C1A的法向量为=(a,b,c), 则, 所以-a+b=0,, 令,可得,(12分) 设二面角D-A1C1-A的大小为α, 则cosα===. 所以二面角D-A1C1-A的余弦值为.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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