Question

如图，在等边△ABC中，O为边AB的中点，AB=4，D、E为△ABC的高线上的点，且，．若以A，B为焦点，O为中心的椭圆过点D，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点E的直线l与椭圆M交于不同的两点P，Q，点P在点E，Q之间，且=λ，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）建立如图所示的直角坐标系，由已知可得D（0，1），E（0，2），则有2c=4，b=1，根据a2=b2+c2可求a，进而可求椭圆的方程
（2）设P（x1，y1）Q（x2，y2），E（0，2），则由．=λ可得x1=λx2，y1=λy2-2λ+2，由P，Q都在椭圆上，代入椭圆方程，
可得y2与λ之间的关系，结合-1≤y2≤1，及P在E，Q之间，又，可求λ的范围

【解析】
（1）建立如图所示的直角坐标系，
由于，，，
∴D（0，1），E（0，2）
设椭圆方程为
∴2c=4⇒c=2，b=1
即椭圆方程为；…（6分）
（2）设p（x1，y1）Q（x2，y2）
∵E（0，2），即．λ=
∴①…（7分）
又∵P，Q都在椭圆上
∴②…（8分）
由①②得∴
消去x2得…（10分）
∵-1≤y2≤1，
∴
又∵P在E，Q之间，又，
∴0＜λ＜1，
∴λ范围为．…（12分）