Question

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）是否存在这样的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R^*）恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出所有这样的值．

Answer

（1）由f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．函数F（x）=f（x）-g（x），知F（x）=ax2-2lnx，其定义域为（0，+∞），所以，再由导数的符号讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）即使F（x）≥2在x＞0时恒成立．当a≤0时，x→+∞，则F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0时不可能恒成立．a＞0，由，知即可．由此能导出存在这样的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R+）恒成立．
【解析】
（1）∵f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．
函数F（x）=f（x）-g（x），
∴F（x）=ax2-2lnx，
其定义域为（0，+∞）（1分）
∴
（i）当
故当．（4分）
（ii）当a＜0时，F'（x）＜0（x＞0）恒成立
故当a≤0时，F（x）在（0，+∞）上单调递减．（6分）
（2）即使F（x）≥2在x＞0时恒成立．
由（1）可知当a≤0时，x→+∞，
则F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0时不可能恒成立．（7分）
∴a＞0，由（1）可知
（10分）
∴即可，
∴lna≥1，
∴a≥e，
故存在这样的a的值，
使得f（x）≥g（x）+2（x∈R+）恒成立．
a的取值范围为[e，+∞）．（12分）