Question

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．
（3）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

Answer

（1）当a=2时，由f（x）=（x2-2x）ex，知f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex，令f′（x）＜0，能求出函数f（x）的单调递减区间．
（2）f′（x）=（2x-a）ex+（x2-ax）ex=[x2+（2-a）x-a]ex，由f（x）在（-1，1）上单调递减，知对一切x∈（-1，1）恒成立，令，＞0，
故g（x）在（-1，1）上是增函数，由此能求出a的取值范围．
（3）f′（x）=[x2+（2-a）x-a]ex，设t=x2+（2-a）x-a，由△=（2-a）2+4a=a2+4＞0，知x∈R时，t不恒为正值，也不恒为负值，故f（x）在R上不可能单调．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=（x2-2x）ex，
∴f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex，令f′（x）＜0即（x2-2）ex＜0，
∴x2-2＜0，∴-，∴函数f（x）的单调递减区间是（-）．
（2）f′（x）=（2x-a）ex+（x2-ax）ex=[x2+（2-a）x-a]ex，
∵f（x）在（-1，1）上单调递减，∴x∈（-1，1）时，f′（x）≤0恒成立，
即x∈（-1，1）时，x2+（2-a）x-a≤0恒成立．即对一切x∈（-1，1）恒成立，令，＞0，
∴g（x）在（-1，1）上是增函数．∴g（x），a，
即a的取值范围是[）．
（3）∵f′（x）=[x2+（2-a）x-a]ex，设t=x2+（2-a）x-a，
△=（2-a）2+4a=a2+4＞0，∴x∈R时，t不恒为正值，也不恒为负值．
即f′（x）的值不恒正，也不恒负，故f（x）在R上不可能单调．