Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且，求无穷数列所有项的和．

Answer

（1）要求用数学归纳法证明：按照两个步骤进行，特别注意递推即可．
（2）由an+1=-an2+2an和bn=lg（1-an）及，求得bn列进而求得，再取极限即可．
（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立
②假设n=k成立，即0＜ak＜1成立，
当n=k+1时，ak+1=-ak2+2ak=-（ak-1）2+1，
∵0＜aK＜1
∴0＜（ak-1）2＜1
∴0＜-（ak-1）2+1＜1
∴0＜aK+1＜1
这就是说，当=k+1时，0＜ak＜1也成立．
根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜an＜1恒成立．

（2）【解析】
1-an+1=（1-an）2，0＜an＜1；
lg（1-an+1）=lg（1-an）2，，即lg（1-an+1）=2lg（1-an）
即：bn+1=2bn
∴{bn}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．
∴bn=-2n-1，∴
无究数列{}所有项的和为：
=（）=[（-1）×]=-2×（）=-2