Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动，
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

Answer

（I）当点E为BC的中点时，由三角形中位线定理可得EF∥PC，进而由线面平行的判定定理可得EF∥平面PAC．
（II）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可．
（III）过A作AG⊥DG于G，连PG，根据二面角的定义可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，因为∠PGA=45°且PD与平面ABCD所成角是30°，所以∠PDA=30°，进而可得一些有关相等的长度，设BE=x，则GE=x，CE=3-x，利用△DCE是直角三角形．
解法一：
（Ⅰ）【解析】
当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点…（1分）
∴EF∥PC
又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…（2分）
∴EF∥平面PAC…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD
∴BE⊥PA
∵ABCD是矩形
∴BE⊥AB…（4分）
又AB∩AP=A，AP、AB⊂平面ABCD
∴BE⊥平面ABCD
又AF⊂平面PAB
∴AF⊥BE       …（5分）
又PA=AB=1，且点F是PB的中点
∴PB⊥AF
又∵PB∩BE=B，PB、BE⊂平面PBE
∴AF⊥平面PBE          …（6分）
∵PE⊂平面PBE
∴AF⊥PE
故无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF …（7分）
（Ⅲ）【解析】
当时，二面角P-DE-A的大小为45°…（8分）
过A作AG⊥DE于G，连接PG
又∵DE⊥PA
∴DE⊥平面PAG∴DE⊥PG
则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角∴∠PGA=45° …（10分）
∵PA⊥平面ABCD
∴∠PDA就是PD与平面ABCD所成的角，即∠PDA=30°…（11分）
又PA=AB=1，∴∴AG=1，…（12分）
设BE=x，则GE=x，CE=
在Rt△DCE中，
解得：或（舍去）         …（13分）
故当时，二面角P-DE-A的大小为45°…（14分）