Question

函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式
（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由图象过点（0，3）求出d，再利用1是极值点求出c，利用切线的斜率为-3得f′（2）=-3且f（2）=5求出a，b即可得函数f（x）的解析式；
（2）由题意可得：x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，等价于g（x）=x3-7x2+8x与y=m有三个不同的交点，利用导数可求函数的极大与极小，即可得m的取值范围．
【解析】
（1）由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，
∴----3
依题意f′（2）=-3且f（2）=5，解得a=1，b=-6
所以f（x）=x3-6x2+9x+3----6
（2）由题意可得：x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3-7x2+8x与y=m有三个不同的交点g′（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4）

x 4 （4，+∞）
g′（x） + _ +
g（x） 增 极大 减 极小 增

则，g（4）=-16，故m的取值范围是----12