Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．

Answer

（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．
（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解 出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．
法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．
（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证
【解析】
（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），
上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1
故椭圆C的方程为（4分）
（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0
设S（x1，y1），则得，从而
即，（6分）
又B（2，0）由得，
∴，（8分）
故
又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．
∴时，线段MN的长度取最小值（10分）

（2）另【解析】
设S（xs，yS），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，
由kAM=kAS，可得同理可得：又
所以，=不仿设yM＞0，yN＜0当且仅当yM=-yN时取等号，
即时，线段MN的长度取最小值．

（3）由（2）可知，当MN取最小值时，
此时BS的方程为，∴（11分）
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，
所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．
设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）