Question

如图1，在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱锥F-BCE的体积．

Answer

（Ⅰ）要求证：BE∥平面ADF，先在平面ADF中取DF中点为G，作出线段AG，证明BE∥AG即可．
（Ⅱ）求三棱锥F-BCE的体积，转化为VB-CEF即可；也可以直接解答，求底面面积和高；还可以求VE-CBF求底面面积和高，再求体积．
证明：（Ⅰ）证法一：取DF中点为G，连接AG，EG中，
，
∴EG∥CD
且EG=CD（2分）
又∵AB∥CD且AB=CD，
∴EG∥AB且EG=AB，四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG（4分）
∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，
∴BE∥平面ADF，（6分）
证法二：由图1可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．
∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，
∴BC∥平面ADF，同理CE∥平面ADF（4分）
∵BC∩CE=C，BC，CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF．
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面ADF（6分）

（Ⅱ）解法1：∵VF-BCE=VB-CEF，由图1可知BC⊥CD（8分）
∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF，（10分）
由图1可知DC=CE=1
∴（12分）
解法2：由图可知CD⊥BC，CD⊥CE
∵BC∩CE=C，∴CD⊥平面BCE，
∵DF∥DC，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，（8分）
由图1可知BC=CE=1
∴（12分）
解法3：过E作EH⊥FC，垂足为H
由图1可知BC⊥CD
∵平面DCEF⊥平面ABCD，
平面DCEF∩平面ABCD=CDBC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF，
∵EH⊂平面DCEF∴BC⊥EH，EH⊥平面BCF
由BC⊥FC，，，（10分）
在△CEF中，由等面积法可得，
∴（12分）