Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围．

Answer

（I）由于是高次函数，所以用导数法，先求导，令f′（x）=0分二种情况讨论：当判别式△≤0时为增函数，．当△＞0时，由两个不同的根，则为单调区间的分水岭．
（II）先由函数求导，再由“函数f（x）在区间内是减函数”转化为“f'（x）=3x2+2ax+1≤0在恒成立”，进一步转化为最值问题：在恒成立，求得函数的最值即可．
【解析】
（1）f（x）=x3+ax2+x+1求导：f'（x）=3x2+2ax+1
当a2≤3时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增
当a2＞3，f'（x）=0求得两根为
即f（x）在递增，递减，递增
（2）f'（x）=3x2+2ax+1≤0在恒成立．
即在恒成立．
可知在上为减函数，在上为增函数．．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．