Question

已知下表为函数f（x）=ax³+cx+d部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．

x	3.27	1.57	-0.61	-0.59	0.26	0.42	-0.35	-0.56		4.25
y	-101.63	-10.04	0.07	0.026	0.21	0.20	-0.22	-0.03		-226.05

下列关于函数f（x）的叙述：
（1）f（x）为奇函数；                          （2）f（x）在[0.55，0.6]上必有零点
（3）f（x）在（-∞，-0.35]上单调递减；         （4）a＜0
其中所有正确命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

根据图表中f（0）=0求得d=0，进而可判断出f（-x）=-f（x）函数为奇函数，结合f（-0.56）＜0可得f（0.56）＞0，同理得f（0.59）＜0，进而可知f（x）在[0.55，0.6]上必有零点；根据图象的趋势f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.026，f（-0.61）=0.07，可推断出函数f（x）在（-∞，-0.35]上单调递减，根据其单调区间，可以判断其导函数的图象，进而得到a的符号．
【解析】
∵f（0）=0
∴f（x）=ax3+cx，则f（-x）=a（-x）3+c（-x）=-f（x）
即f（x）为奇函数，即（1）正确；
∵f（-0.59）=0.026＞0，∴f（0.59）＜0
又∵f（-0.56）=-0.03＜0，∴f（0.56）＞0
∵f（0.56）•f（0.59）＜0
故在[0.56，0.59]上必有零点，则[0.55，0.6]上必有零点，即（2）正确；
由于函数f（x）=ax3+cx为三次函数，有三个零点，故函数必有三个单调区间
∵f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.03，f（-0.61）=0.07，
∴f（x）在（-∞，-0.35]上单调递减，故（3）正确；
由于函数有两个单调递减区间，一个单调递增区间，故其导函数的图象是开口朝下的抛物线，故a＜0，故（4）正确
故选A