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某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积是 .

某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积是    
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由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱锥,底面一边长为1的直角三角形,一条棱长为,由于本题中含有两个参数,且需求满足两者和最大时的体积,故本题第一步是找到关于a,b的表达式,先求其和最大时两参数的值,再由体积公式求体积,观察发现,可以先用参数a,b表示出PC,PB的值,在直角三角形BPC中用公股定理建立关于a,b的方程,研究此方程求出满足条件的参数的值再求体积即可. 【解析】 由题设可得其直观图如图,由三视图知,PA,PB,PC两两垂直 PA=1,BC=,AB=b,AC=a 如图有PC=,PB= 在直角三角形BPC中有PC2+PB2=BC2=6,即a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8 可设a=2cosθ,b=2sinθ,θ∈(0,2π) 则a+b=2cosθ+2sinθ=4sin()≤4,最大值当时取到 此时a=b=2,验证知符合题意 由此知PC==,PB== 故底面三角形APB的面积为,棱锥的体积为= 故答案为.
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考点分析:
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