Question

已知数列a_n满足：2ⁿ•a₁•a₂•…•a_n=A_2nⁿ，n∈N^*
（1）求数列a_n的通项公式；（2）若b_n=a_n+2ⁿ+1，求数列的前n项和．

Answer

（1）根据等式求出n+1时，2n+1•a1•a2…an•an+1=A2n+2n+1和2n•a1•a2•…•an=A2nn，两式相除得到数列an的通项公式；
（2）把an代入到bn=an+2n+1中得到bn的通项公式，代入得到cn=bnsin（nπ-）的通项公式，分别表示出cn的各项，讨论当n为奇数和偶数时表示出cn的前n项和，化简求出即可．
【解析】
（1）数列{an}满足：2n•a1•a2…an=A2nn，2n+1•a1•a2…an•an+1=A2n+2n+1
两式相除得：2an+1===4n+2
所以数列通项公式：an=2n-1
（2）由an=2n-1，bn=2n+2n，
bnsin（nπ-）=（2n+2n）sin（nπ-）=（-1）n+1（2n+2）
Tn=[2-22+23-24++（-1）n+1•2n]+2[1-2+3-4++（-1）n+1•n]
当n为偶数时，
Tn=-2
当n为奇数时，
Tn=
Tn=