Question

已知抛物线C：y²=2px，（p＞0），点到抛物线C的准线的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过直线l：x=-1上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），求证：直线ST过定点，并求出该定点；
（3）当直线l变动时，是否也有相应的结论成立？请写出一个正确的命题来（无需证明）．

Answer

（1）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点到抛物线C的准线的距离等于2可解得p，问题得解．
（2）先设A（-1，t），得到过点A的切线：l切：y-t=k（x+1），联立切线方程与抛物线方程得到关于k和t之间的等量关系；求出S，T的坐标，进而得到直线ST的方程，即可证明结论；
（3）直接根据类比推理的思想写出一个结论即可．（答案不唯一）．
【解析】
（1）∵点到抛物线C的准线的距离等于2，
∴⇒p=1．
∴抛物线C的方程为：y2=2x，
（2）设A（-1，t），过点A的切线：l切：y-t=k（x+1），代入y2=2x，
得：ky2-2y+2t+2k=0，
由得：2k2+2tk-1=0，从而，且有，即（ky-1）2=0，得，
因此S（），
即有，从而直线ST过定点P（1，0）．
（3）过直线l：x=-上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），则直线ST过定点P．