Question

已知函数f（x）=（a-1）ln（e^x+a²-a-2）（a为常数）是实数集R上的增函数，对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=0，函数，函数g（x）=ln[f（x）+1]．
（1）求实数a的值；
（2）若对任意的x＞0，g（x）＜px恒成立，求实数p的取值范围；
（3）求证：当n∈N^*时，g（n）＜1+．

Answer

（1）由“f（x）对任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0”得f（x）是R上的奇函数求解a，再由“函数f（x）是实数集R上的增函数”验证．
（2）结合（1）将“任意的x＞0，g（x）＜px恒成立”转化为：h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px＜0，x＞0恒成立，只要求得h（x）的最大值即可．
（3）观察其结构，我们可以先探究一下，g（1）＜1，即，ln（1+1）＜1，ln（+1）＜，依此类推，我们可以有ln（），成立，再用累加法求解．
【解析】
（1）∵f（x）对任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=（a-1）ln（1+a2-a-2）=0
即a2-a-2=0或a-1=0
∴a=-1或a=2或a=1，
∵f（x）是实数集R上的增函数，
∴a=2．
（2）由（1）知f（x）=x，函数g（x）=ln[f（x）+1]=ln（x+1），
设h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px（x＞0），
则g（x）＜px恒成立⇔h（x）＜0恒成立，
又h′（x）=（x＞0）
①若p≥1，则h′（x）=，h（x）在（0，+∞）上是减函数，
因此h（x）＜h（0）=0恒成立，
②若p∈（0，1），则令h′（x）=0，解得x=，
当x∈（0，）是，h（x）＞0，h（x）单调递增，不成立
故实数p的取值范围[1，+∞）
（3）证明：由第（2）小题可知，
当p=1时，ln（x+1）＜x（x＞0）恒成立，
故当x＞0，ln（）也恒成立，
∴ln2＜1，，，
将各不等式相加得
ln+…+＜1++…+
故g（n）＜