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高中数学试题
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已知函数 (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)若f(x)在区间上是增函数...
已知函数
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间
上是增函数,求实数a的取值范围.
(1)因为当函数的导数为0时,函数有极值,所以当a=0时,必须先在定义域中求函数f(x)的导数,让导数等于0,求x的值,得到极值点,在列表判断极值点两侧导数的正负,根据所列表,判断何时有极值. (2)因为当函数为增函数时,导数大于0,若f(x)在区间上是增函数,则f(x)在区间上恒大于0,所以只需用(1)中所求导数,令导数大于0,再判断所得不等式当a为何值时,在区间上恒大于0即可. 【解析】 (1)函数的定义域为(0,+∞) ∵当a=0时,f(x)=2x-lnx,则 ∴x,f'(x),f(x)的变化情况如下表 x (0,) (,+∞) f'(x) - + f(x) 极小值 ∴当时,f(x)的极小值为1+ln2,函数无极大值. (2)由已知,得 若a=0,由f'(x)>0得,显然不合题意 若a≠0∵函数f(x)区间是增函数 ∴f'(x)≥0对恒成立,即不等式ax2+2x-1≥0对恒成立 即 恒成立 故 而当,函数,∴实数a的取值范围为a≥3.
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考点分析:
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