Question

△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形

Answer

由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°-α，∠CAD=90°-β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三角形ABC为等腰三角形．
【解析】
∵∠BAD+∠C=90°，
∴∠CAD+∠B=180°-（∠BAD+∠C）=90°，
设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°-α，∠CAD=90°-β，
在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，
sin（90°-β）：sin（90°-α）=CD：AD，
又D为BC中点，∴BD=CD，
∴sinα：sinβ=sin（90°-β）：sin（90°-α）=cosβ：cosα，
∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，
∴2α=2β或2α+2β=180°，
∴α=β或α+β=90°，
∴BD=AD=CD或AD⊥CD，
∴∠BAC=90°或AB=AC，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．
故选D