Question

已知抛物线C₁、椭圆C₂和双曲线C₃在x轴上有共同的焦点，且三条曲线都经过点M（1，2），C₁的顶点为坐标原点，C₂、C₃的对称轴是坐标轴．
（1）求这三条曲线的方程
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线C₁于A、B两点，问是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意，把点M（1，2）代入抛物线的方程，求得抛物线的方程和焦点坐标，再把点M（1，2），代入椭圆和双曲线的标准方程，即可求得结果；
（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H，根据垂径定理即可得到方程=（a-2）x1-a2+3a，探讨该式何时是定值．
【解析】
（1）设抛物线的方程y2=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C1方程y2=4x（2分）
椭圆C2和双曲线C3焦点为F1（-1，0），F2（1，0），c=1
对于椭圆C2：，，，
得C2方程：（4分）
对于双曲线C3：，，，
得C3方程：（6分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），以AP为直径的圆的圆心为，
设存在符合条件的直线l′：x=n，圆心到l′的距离为，
所以l′被以AP为直径的圆截得的弦长为=，（10分）
当n=2时，即l′方程x=2，弦长为定值（12分）