Question

选做题：平面几何
已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．
求证：（1）DE⊥AC；（2）BD²=CE•CA．

Answer

（1）连接OD、AD，由DE是⊙O的切线可 知OD⊥DE，由AD⊥BC，AB=AC，可得BD=DC，从而可证
（2）AD⊥BC，DE⊥AC，在Rt△ABD中，由射影定理得CD2=CE•CA可证
证明：（1）连接OD、AD．
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE．（2分）
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．又AB=AC，
∴BD=DC．
∴OD∥AC，DE⊥AC．（6分）
（2）∵AD⊥BC，DE⊥AC，
在Rt△ACD中，由射影定理得CD2=CE•CA．
又BD=DC．
∴BD2=CE•CA．（10分）