Question

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若，其中x，y∈R．
（1）若∠AOC=30°，求x，y的值；
（2）求x+y的最大值．

Answer

（1）以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，及∠AOC=30°时，C的坐标，进而根据，构造关于x，y的方程，解方程即可得到满足条件的x，y的值；
（2）则 =x +y =（x，0）+（-，y）=（cosα，sinα），我们求出x+y的表达式，然后根据三角函数的性质，即可得到x+y的最大值．
【解析】
（1）建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（，）
即B（-，）．
设∠AOC=α，则 =（cosα，sinα）．
∴当∠AOC=30°时，=（，）
则
∴x=，y= …（7分）
（2）∵=x +y =（x，0）+（-，y）=（cosα，sinα）．
∴
∴
∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．…（14分）