Question

已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（λ＞0），
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（1）证明线段FM被x轴平分；
（2）计算的值；
（3）求证：．

Answer

（1）设，，由曲线8y=x2上任意一点斜率为y'=，由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2与抛物线方程x2=8y联立消y，从而得解；
（2）先求得和，进而可求得 的结果为0，
（3）先求得∵，∵，从而可解．
【解析】
（1）设，，由曲线8y=x2上任意一点斜率为y'=，
直线AM的方程为：
直线BM的方程为：                   
解方程组得  即
由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x2=8y联立消y可得：x2-8kx-16=0，∴x1+x2=8k，x1x2=-16
所以M点的纵坐标为-2，，所以线段FM中点的纵坐标为0
即线段FM被x轴平分．                                   
（2），
∴
由（1）x1+x2=8k，代入得
（3）∵，∵，
∴
∴