Question

已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=．
（Ⅰ）求g（x）在P（，g（））处的切线方程l；
（Ⅱ）若f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；
（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的个数．

Answer

（I）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（II）先求出导函数，找到导数为0的根，再利用点到直线的距离公式列出关于a的方程即可得出结论．
（III）设函数h（x）=f（x）-g（x），这个函数有几个零点就说明有几个根．然后利用导数研究函数单调性，并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数零点的个数即可求根的个数．
【解析】
（Ⅰ）∵g′（x）=∴g′（）=-2且g（）=1+a
故g（x）在点P（，g（）））处的切线方程为2x+y-5-a=0 …（5分）
（Ⅱ）由f′x）=得x=0，故f（x）仅有一个极小值点M（0，0），
根据题意得：d=∴a=-2或 a=-8   …（10分）
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x2+1）--ah′（x）=+
x∈[0，1）∪（1，+∞）时h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，h′（x）＜0
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）时h（x）单调递减，[0，1），（1，+∞）时h（x）单调递增．h（x）为偶函数，
x∈（-1，1）时h（x）极小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情况为：
1-a＞0时，a＜1时，原方程有2个根；
1-a=0时，a=1时，原方程有3个根；
1-a＜0时，a＞1时，原方程有4个根．…（15分）