Question

已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，其中A、B、C为△ABC的内角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求AB的长．

Answer

（Ⅰ）根据数量积和两角和的正弦公式，二倍角公式可求C的值．
（Ⅱ）根据等差数列和数量积，列出三个边长的关系，借助余弦定理求得AB的值．
【解析】
（Ⅰ）（2分）
对于△ABC中A+B=π-C，0＜C＜π
∴sin（A+B）=sinC，
∴（4分）
又∵，∴（7分）
（Ⅱ）由    sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得 2c=a+b（9分）
∵，∴，
即  abcosC=18，ab=16（12分）
由余弦弦定理 c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，，c=6（14分）