Question

已知函数f（x）=ln（x+a），g（x）=x³+b，直线l：y=x与y=f（x）相切，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂求b的取值范围，并比较x₁x₂+1与x₁+x₂的大小．（3）设n≥2时，n∈N^*，求证：+…＜1

Answer

（1）考查导数的几何意义，方程思想解决
（2）考查构建函数，利用导数求函数范围，利用图象数形结合列式求解
（3）考查利用导数证明不等式，构建函数能力
【解析】
（1）设切（x，y），y=x，，
∴x+a=1，且y=ln（x+a）=0，∴x=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）=，得
令h（x）=，
在（0，1）上h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）单调减
在（1，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调增
∴，若h（x）图在（0，+∞）内x轴有两个不同的交点，则
，此时h（3）=
所b的范围为．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个x1、x2，满足0＜x1＜1，x2＞1，
∴x1x2+1-（x1+x2）=（1-x1）（1-x2）＜0
∴x1x2+1＜（x1+x2）
（3）求导数可证f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N*时，lnn＜n-1
∴（12分）
∴（13分）