Question

已知函数f（x）=axlnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值；
（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n）

Answer

（1）求出f'（x），然后让其大于0得到递增区间，小于0得到递减区间，根据函数的增减性得到函数的极值即可；（2）要证明此结论成立，只需证f（m）+f（n）+a（m+n）ln2-f（m+n）≥0，设把不等式左边化简得到an[klnk+（k+1）ln]，设g（k）=klnk+（k+1）ln，得到其导函数大于0，g（k）≥g（1）=0，又∵a＞0，n＞0，∴左边-右边≥0，得证．
【解析】
（Ⅰ）∵f'（x）=alnx+a（x＞0），令f'（x）≥0，
当a＞0时，即lnx≥-1=lne-1．∴．∴．
同理，令f'（x）≤0可得．
∴f（x）单调递增区间为，单调递减区间为．
由此可知．无最大值．
当a＜0时，令f'（x）≥0即lnx≤-1=lne-1．∴．∴．
同理，令f'（x）≤0可得．
∴f（x）单调递增区间为，单调递减区间为．
由此可知．此时无最小值．
（Ⅱ）证：不妨设m≥n＞0，则m=kn（k≥1）
左边-右边=a[mlnm+nlnn+（m+n）ln2-（m+n）ln（m+n）]===
令，则=∴g（k）≥g（1）=0，又∵a＞0，n＞0，∴左边-右边≥0，得证．