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如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,CD=manfen5.com 满分网,M在棱PC上,N是AD的中点,二面角M-BN-C为30°.
(1)求manfen5.com 满分网的值;
(2)求直线PB与平面BMN所成角的大小.

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解法一(几何法):(Ⅰ)作ME∥CD交CD于E,由已知中,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,N是AD的中点,可得BN⊥AD,结合侧面PAD垂直于底面ABCD,及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE,即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角,由二面角M-BN-C为30°,可得∠DNE=30°,可求出DE=DP,进而得到的值; (2)连接BE,由(Ⅰ)可知PE⊥平面BMN,即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角.连接PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN,解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角. 解法二(向量法):(Ⅰ)建立如图所示的坐标系N-xyz,设=λ(λ>0),则M(,,),求出面MBN的法向量,及面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,求出λ值,即可得到的值; (Ⅱ)由(Ⅰ),=(,0,3)为面MBN的法向量,设直线PB与平面MBN所成的角为θ,求出PB的方向向量,代入线面夹角公式sinθ=,可得直线PB与平面MBN所成的角. 解法一(几何法):(Ⅰ)作ME∥CD,ME∩PD=E. ∵∠ADC=∠BCD=90°,AD=2BC=2,N是AD的中点, ∴BN⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD, ∴BN⊥平面PAD, ∴BN⊥NE, ∠DNE为二面角M-BN-C的平面角, 即∠DNE=30°.…(3分) ∵PA=PD=AD, ∴∠PDN=60°, ∴∠DEN=90°, ∴DE=DP, ∴CM=CP,故=3.…(6分) (Ⅱ)连接BE,由(Ⅰ)的解答可知PE⊥平面BMN, 则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角. 连接PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN, ∴PB===,…(9分) 又PE=PD=,∴sin∠PBE==. 所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin.…(12分) 解法二(向量法): (Ⅰ)建立如图所示的坐标系N-xyz, 其中N(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),D(-1,0,0), P(0,0,). 设=λ(λ>0),则M(,,), 于是=(0,,0),=(,,),…(3分) 设=(x,y,z)为面MBN的法向量,则•=0,•=0, ∴y=0,-λx+λy+z=0,取=(,0,λ), 又=(0,0,1)为面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,得 |cos<,>|===cos30°=, 解得λ=3, 故=3.…(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ),=(,0,3)为面MBN的法向量,…(8分) 设直线PB与平面MBN所成的角为θ,由=(0,,-),得 sinθ===, 所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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