Question

已知函数f（x）=x³-3x，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对于∀x₁∈[-2，2]，总∃x∈[-2，2]，使得g（x）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围    ．

Answer

根据对于∀x1∈[-2，2]，总∃x∈[-2，2]，使得g（x）=f（x1）成立，得到函数f（x）在[-2，2]上值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集，下面利用导数求函数f（x）、g（x）在[-2，2]上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围
【解析】
∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
当x∈[-2，-1]，f′（x）≥0，x∈（-1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-2，-1]上是增函数，（-1，1）上递减，（1，2）递增；
且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
∴f（x）的值域A=[-2，2]；
又∵g（x）=ax+1（a＞0）在[-2，2]上是增函数，
∴g（x）的值域B=[-2a-1，2a-1]；
根据题意，有A⊆B
∴⇒a≥．
同理g（x）=ax+1（a＜0）在[-2，2]上是减函数，
可以求出a≤-．
故实数a的取值范围是：（-∞，-]∪[-，+∞）．
故答案为：（-∞，-]∪[-，+∞）．