Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2
（1）求证：BE⊥AC；
（2）点N在棱BE上，当BN的长度为多少时，直线CN与平面ADE成30°角？

Answer

（1）连接BD，ABCD是正方形，AC⊥BD．得出BD是斜线EB在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得到BE⊥AC．
（2）以D为原点，DA、DC、DE为x，y，z建立空间直角坐标系，求出各个顶点的坐标，进而求出平面AED的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线CN与平面ADE所成角的大小；
证明：（1）连接BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又ED⊥底面ABCD，
∴BD是斜线EB在平面ABCD内的射影．
∴BE⊥AC．
（2）以D为原点，DA、DC、DE为x，y，z建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2）
设N（x，y，z），且（0≤λ≤1）
则N（2-2λ，2-2λ，2λ），∴
平面ADE的法向量为
则，
解得
又，∴
即当时，直线CN与平面ADE成30°角