Question

已知A是抛物线y²=2x上的一动点，过A作圆（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于E、F两点，交y轴于B、C两点．
（1）当A点的坐标为（8，4）时，求直线EF的方程．
（2）当A点的横坐标大于2时，求△ABC的面积的最小值．

Answer

（1）圆：（x-1）2+y2=1的圆心C（1，0），所以以AC为直径的圆为：x2+y2-9x-4y+8=0，结合题意证明点E、F在圆x2+y2-9x-4y+8=0上，所以E、F两点是两个圆的交点，两个圆的方程相减即可得到直线EF的方程．
（2）设B（0，yB），C（0，yC），A（xO，yO），其中x＞2，写出直线AB的方程为（yO-yB）x-xOy+xOyB=0，由直线AB与圆相切可得（xO-2）yB2+2yOyB-xO=0，同理：（xO-2）yA2+2yOyA-xO=0，故yA，yB是方程（xO-2）y2+2yOy-xO=0的两个不同的实根，因为，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．
【解析】
（1）由题意可得：圆：（x-1）2+y2=1的圆心C（1，0），
所以以线段AC为直径的圆的方程为：x2+y2-9x-4y+8=0．
因为AE⊥CE，AF⊥CF，
所以点E、F在圆x2+y2-9x-4y+8=0上，
所以E、F两点是两个圆的交点．
所以所求圆的方程与圆：（x-1）2+y2=1相减，消去二次项，就得公共弦EF所在的直线方程，
所以直线EF的方程为7x+4y-8=0．
（2）设B（0，yB），C（0，yC），A（xO，yO），其中x＞2，
所以直线AB的方程为，化简得（yO-yB）x-xOy+xOyB=0
直线AB与圆相切，故，两边平方化简得（xO-2）yB2+2yOyB-xO=0
同理可得：（xO-2）yA2+2yOyA-xO=0，
故yC，yB是方程（xO-2）y2+2yOy-xO=0的两个不同的实根，，
因为
所以=，
所以当且仅当xO=4时，S取到最小值8，
所以△ABC的面积的最小值为8．