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manfen5.com 满分网如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=manfen5.com 满分网AD,E是线段AB的中点.
(Ⅰ)求证:PE⊥CD;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值.
(Ⅰ)先证明AD⊥PE,再证明PE⊥AB.AD∩AB=A,推出PE⊥平面ABCD.然后证明PE⊥CD. (Ⅱ)说明PE是四棱锥P-ABCD的高.求出PE=.然后求出. (Ⅲ)以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.推出,,.设=(x,y,z)为平面PDE的法向量.利用由即,可得=(1,-2,0).设PC与平面PDE所成的角为θ.利用.推出PC与平面PDE所成角的正弦值为. (Ⅰ)证明:因为AD⊥侧面PAB,PE⊂平面PAB, 所以AD⊥PE.(2分) 又因为△PAB是等边三角形,E是线段AB的中点, 所以PE⊥AB. 因为AD∩AB=A, 所以PE⊥平面ABCD.(4分) 而CD⊂平面ABCD, 所以PE⊥CD.(5分) (Ⅱ)【解析】 由(Ⅰ)知:PE⊥平面ABCD,所以PE是四棱锥P-ABCD的高. 由DA=AB=2,BC=AD,可得BC=1. 因为△PAB是等边三角形, 可求得PE=. 所以.(9分) (Ⅲ)【解析】 以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz. 则E(0,0,0),C(1,-1,0),D(2,1,0),P(0,0,). ,,. 设=(x,y,z)为平面PDE的法向量. 由即, 令X=1,可得m=(1,-2,0).(12分) 设PC与平面PDE所成的角为θ. . 所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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