Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（Ⅰ）若函数f（x）在是增函数，导函数f′（x）在（-∞，1]上是减函数，求a的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f′（x）+3x²，求g（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在区间上单调递增或递减，转化为f′（x）≥0在恒成立，列出关于a的不等关系解之即得；
（Ⅱ）先写出g（x）的表达式，求出其导数，最后求出单调区间即可．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定
f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2-2ax-3，（1分）
∵f（x）在上是增函数，
∴f′（x）≥0在恒成立
即在恒成立（3分）
又∵f′（x）在（-∞，1]上是减函数，∴，（5分）
∴a=3．（6分）

（Ⅱ）g（x）=x3-ax2-3x-（3x2-2ax-3）+3x2=x3-ax2-（3-2a）x+3
g′（x）=3x2-2ax+（2a-3）=0⇒x1=1，x2=（8分）
（ⅰ）当a≥3时，x，g′（x），g（x）的变化如下表：

∴增区间为：；减区间为：（10分）

（ⅱ）当a＜3时，x，g′（x），g（x）的变化如下表：

∴增区间为：；减区间为：．（12分）