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已知函数f(x)=x3-ax2-3x (Ⅰ)若函数f(x)在是增函数,导函数f′...

已知函数f(x)=x3-ax2-3x
(Ⅰ)若函数f(x)在manfen5.com 满分网是增函数,导函数f′(x)在(-∞,1]上是减函数,求a的值;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-f′(x)+3x2,求g(x)的单调区间.
(Ⅰ)先求出原函数的导数,再根据函数f(x)在区间上单调递增或递减,转化为f′(x)≥0在恒成立,列出关于a的不等关系解之即得; (Ⅱ)先写出g(x)的表达式,求出其导数,最后求出单调区间即可.利用导数判断函数的单调性的步骤是:(1)确定 f(x)的定义域;(2)求导数fˊ(x);(3)在函数 的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)确定 的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论. 【解析】 (Ⅰ)f′(x)=3x2-2ax-3,(1分) ∵f(x)在上是增函数, ∴f′(x)≥0在恒成立 即在恒成立(3分) 又∵f′(x)在(-∞,1]上是减函数,∴,(5分) ∴a=3.(6分) (Ⅱ)g(x)=x3-ax2-3x-(3x2-2ax-3)+3x2=x3-ax2-(3-2a)x+3 g′(x)=3x2-2ax+(2a-3)=0⇒x1=1,x2=(8分) (ⅰ)当a≥3时,x,g′(x),g(x)的变化如下表: ∴增区间为:;减区间为:(10分) (ⅱ)当a<3时,x,g′(x),g(x)的变化如下表: ∴增区间为:;减区间为:.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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