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直角三角形ABC中,∠C=90°,B、C在x轴上且关于原点O对称,D在边BC上,...

直角三角形ABC中,∠C=90°,B、C在x轴上且关于原点O对称,D在边BC上,BD=3DC,△ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点,且经过A、D两点.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若一过点P(3,0)的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,且manfen5.com 满分网,问在x轴上是否存在定点G,使manfen5.com 满分网?若存在,求出所有这样定点G的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)设出双曲线的方程,则可表示出B,C,D坐标,根据BD=3DC求得a和c的关系,进而利用双曲线的定义以及三角形的周长建立方程组求得a,进而求得c和b,则双曲线的方程可得. (2)在x轴上存在定点G使题设成立,设出直线l的方程,根据求得x1-t=λ(x2-t),把直线方程代入椭圆方程消去y,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而求得t,则定点G的坐标可求. 【解析】 (1)【解析】 设双曲线E的方程为, 则B(-c,0),D(a,0),C(c,0). 由BD=3DC,得c+a=3(c-a),即c=2a ∴ 解之得a=1,∴ ∴双曲线E的方程为. (2)【解析】 设在x轴上存在定点G(t,0),使. 当l⊥x轴时,由,显然成立 当l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2) 由,即(3-x1,y1)=λ(x2-3,y2),即3-x1=λ(x2-3),即 ∵,, ∴⇔x1-t=λ(x2-t),将代入得2x1x2-(3+t)(x1+x2)+6t=0① 将y=k(x-3)代入方程为整理得得:(3-k2)x2-6k2x-9k2-3=0 其中k2-3≠0且△>0,即且 代入①,得:,化简得:. 因此,在x轴上存在定点,使.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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