Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，设，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求S_n；
（II）求的值．

Answer

（I）当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1，可得3•4n-1Sn=（4n-1）（Sn-Sn-1），从而可得是公比为1的等比数列，进而可求
Sn；
（II）将代入3•4n-1Sn=（4n-1）an，可求数列{an}的通项，利用设，进而可得数列{bn}的通项，由此利用错位相减法可求Tn，最后可求极限．
【解析】
（I）当n≥2时，an=Sn-Sn-1．
∴当n≥2时，3•4n-1Sn=（4n-1）（Sn-Sn-1）
∴（4n-1-1）Sn=（4n-1）Sn-1
∴，…（2分）
∴是公比为1的等比数列，
∴
∴．…（5分）
（II）将代入3•4n-1Sn=（4n-1）an，
得．…（7分）
，
．
∴
∴．…（10分）
∴．…（12分）