Question

已知．
（I）讨论f（x）的单调性，并求出f（x）的最大值；
（II）求证：；
（III）比较f（2²）+f（3²）+…f（n²）与的大小，并证明你的结论．

Answer

对于（I）讨论f（x）的单调性，求f（x）的最大值问题，可先求出函数的导函数，根据导函数的零点讨论极值，根据导函数的大于零或小于零，讨论函数的单调性问题．
对于（II）求证，可以考虑把代入移向转化为考查函数g（x）=lnx-x+1≤0的问题，再根据导函数求极值的方法证得即可．
对于（III）比较f（22）+f（32）+…f（n2）与的大小，分析由（2）证得，从而，故可求出f（22）+f（32）+…f（n2）的小于等于一个关于n的式子．再根据化简即可证得大小．
【解析】
（I），
令f'（x）＞0，得x＜e，令f'（x）＜0得x＞e．
又f（x）的定义域为（0，+∞），∴f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，
从而．
（II）要证即证，
∵x＞0，∴只需证：lnx-x+1≤0．
令g（x）=lnx-x+1，则，
令g'（x）＞0，得0＜x＜1，g'（x）＜0得x＞1（x＜0舍去）．
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）≤g（1）=0，∴lnx-x+1≤0成立，
即成立．
（III）由（2）知，，从而，
∴．
又，
∴==，
即答案为．