Question

设f（x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上有最小值    ．

Answer

可对x、y都赋值为0，求出f（0），依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＜0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性，最后求出所求即可．
【解析】
任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＜0
∴f（x2）+f（-x1）＞0；
对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x2）-f（x1）＜0
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在R上递减．
∴f（x）在区间[a，b]上有最小值 f（b）